Sinüs teoremi

Sinüs teoremi

Sinüs teoremi, bir çembersel üçgende (kirişler üçgeni) bir kenar ve bu kenar karşısındaki açının sinüsleri oranı sabittir. Sinüs, dik açılı üçgenlerde dik olmayan bir açının karşısında kalan dik kenar ile hipotenüs (dik açının karşısında kalan kenar) ün birbirine oranıdır.

a, b, ve c üçgenin kenar uzunlukları, A, B ve C üçgenin iç açıları ve r çevrel çemberin yarı çapı ise bunlar arasında sinüs teoremine göre aşağıdaki bağıntı mevcuttur:

{a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=2r\,

İspatı

Sinüs Teoremi ispatında kullanılan şekil

ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O ve yarıçapı r olsun. BO ve OC yarıçapları çizildiğinde aynı yayı gören çevre ve merkez açılardan dolayı $m(BOC)=2m(A)$ olur.
O merkezinden a kenarına H noktasında yükseklik inildiğinde BOC ikizkenar üçgen olduğundan yükseklik hem kenarortay hem de açıortay olur. O zaman BOH üçgeni bir açısı $m(BOH)=A$ derece olan dik üçgen olur. |BH| uzunluğu ise a/2 dir.
Sinüsün tanımı gereği,

\sin BOH=\sin A={\frac {a/2}{r}}

Bu işlem düzenlendiğinde

{a \over \sin A}=2r

bulunur.

Aynı işlem diğer kenarlar için de yapıldığında sinüs teoremi bulunmuş olur.

Üçgen

Üçgen Türleri	Dik üçgen · İkizkenar üçgen · Eşkenar üçgen

Yardımcı Elemanlar	Açıortay · Kenarortay · Yükseklik

Teoremler ve bağıntılar	Pisagor teoremi · Ceva teoremi · Menelaus teoremi · Stewart teoremi · Thales teoremi · Öklid bağıntıları · Kosinüs teoremi · Sinüs teoremi · Tanjant teoremi

Trigonometri

Açı Ölçü Birimleri	Derece · Radyan · Grad

Trigonometrik işlevler	Sinüs (sin) · Kosinüs (cos) · Tanjant (tan) · Kotanjant (cot) · Sekant (sec) · Kosekant (csc)

Trigonometrik Formüller	Trigonometrik dönüşüm formülleri · Toplam fark formülleri · Kosinüs teoremi · Sinüs Teoremi · Tanjant teoremi

İlgili Konular	Üçgen · Çember · Geometri

Kullanıldığı dallar	Matematik · Geometri · Fizik · Mühendislik · Astronomi

This article is issued from Vikipedi - version of the 4/29/2016. The text is available under the Creative Commons Attribution/Share Alike but additional terms may apply for the media files.