Q-fonksiyonu

A plot of the Q-function.

İstatistik bilimi içinde Q-fonksiyonu standart normal dağılım'ın kuyruk olasılığı'dır..^[1]^[2] [1] [2] Diğer bir deyişle, $Q(x)$ normal (Gauss) rastgele değişken ortalamanın üzerinde $x$ 'ınstandart sapmasından daha büyük bir değer elde edeceği olasılığıdır.Q-fonksiyonu diğer tanımları, bunların tümü, normal yığılımlı dağılım fonksiyonu'nun basit bir dönüştürmesi olarak zaman zaman kullanılır.^[3] Çünkü normal dağılım'ın yığılımlı dağılım fonksiyonu ile ilişkilidir ve uygulamalı matematik ve fizikte çok önemli bir işlevi olan Q-fonksiyonu hata fonksiyonu hesabı terimleri içinde ifade edilebilir.

Tanımı ve temel özellikleri

biçimsel olarak Q-fonksiyonunun tanımı

Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }\exp {\Bigl (}-{\frac {u^{2}}{2}}{\Bigr )}\,du.

Böylece

Q(x)=1-Q(-x)=1-\Phi (x)\,\!,

burada $\Phi (x)$ Normal Gauss dağılımının yığılımlı dağılım fonksiyonu'dur Q-fonksiyonu hata fonksiyonu veya tamamlayıcı hata fonksiyonu olarak terimleri içinde ^[2] ile ifade edilebilir.

Q(x)={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {erf} {\Bigl (}{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\Bigr )}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {erfc} ({\frac {x}{\sqrt {2}}}).

Bu ifade $x$ 'ın sadece pozitif değerler için geçerlidir ama negatif değerler için $Q(x)=1-Q(-x)\,\!,$ ile birlikte kullanılabilirler tegrasyon aralığı sonlu olduğu bu form avantajlıdır.

Sınırlar

Q-fonksiyonu bir temel fonksiyon değildir.bununla birlikte, sınırlar

{\frac {x}{1+x^{2}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}<Q(x)<{\frac {1}{x}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2},\qquad x>0,

büyük "x" için giderek daha sıkı olmaya ve çoğu zaman kullanışlıdır yerine koyma $v=u^{2}/2$ ve tanımı $\varphi (x)={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2},$ üst sınır aşağıdaki gibi elde edilmiştir

{\begin{aligned}Q(x)&=\int _{x}^{\infty }\varphi (u)\,du\\&<\int _{x}^{\infty }{\frac {u}{x}}\varphi (u)\,du=\int _{x^{2}/2}^{\infty }{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\,dv=-{\biggl .}{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}{\biggr |}_{x^{2}/2}^{\infty }={\frac {\varphi (x)}{x}}.\end{aligned}}

Aynı şekilde bölüm kuralı, $\scriptstyle \varphi '(u)\,{=}\,-u\,\varphi (u)$ kullanılır.

{\begin{aligned}{\Bigl (}1+{\frac {1}{x^{2}}}{\Bigr )}Q(x)&=\int _{x}^{\infty }{\Bigl (}1+{\frac {1}{x^{2}}}{\Bigr )}\varphi (u)\,du\\&>\int _{x}^{\infty }{\Bigl (}1+{\frac {1}{u^{2}}}{\Bigr )}\varphi (u)\,du=-{\biggl .}{\frac {\varphi (u)}{u}}{\biggr |}_{x}^{\infty }={\frac {\varphi (x)}{x}}.\end{aligned}}

$Q(x)$ çözümü için alt sınır sağlar. Q-fonksiyonunun Chernoff sınırı

{\begin{aligned}Q(x)\leq {\frac {1}{2}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},\qquad x>0\end{aligned}}

Değerler

Q fonksiyonlu iyi bir tablo ve bu Matlab ve Mathematica gibi matematik yazılım paketleri içinde çoğu doğrudan hesaplanabilir. Q fonksiyonlu bazı değerler referans için aşağıda verilmiştir.

Q(0.0) = 0.500000000
Q(0.1) = 0.460172163
Q(0.2) = 0.420740291
Q(0.3) = 0.382088578
Q(0.4) = 0.344578258
Q(0.5) = 0.308537539
Q(0.6) = 0.274253118
Q(0.7) = 0.241963652
Q(0.8) = 0.211855399
Q(0.9) = 0.184060125

Q(1.0) = 0.158655254
Q(1.1) = 0.135666061
Q(1.2) = 0.115069670
Q(1.3) = 0.096800485
Q(1.4) = 0.080756659
Q(1.5) = 0.066807201
Q(1.6) = 0.054799292
Q(1.7) = 0.044565463
Q(1.8) = 0.035930319
Q(1.9) = 0.028716560

Q(2.0) = 0.022750132
Q(2.1) = 0.017864421
Q(2.2) = 0.013903448
Q(2.3) = 0.010724110
Q(2.4) = 0.008197536
Q(2.5) = 0.006209665
Q(2.6) = 0.004661188
Q(2.7) = 0.003466974
Q(2.8) = 0.002555130
Q(2.9) = 0.001865813

Q(3.0) = 0.001349898
Q(3.1) = 0.000967603
Q(3.2) = 0.000687138
Q(3.3) = 0.000483424
Q(3.4) = 0.000336929
Q(3.5) = 0.000232629
Q(3.6) = 0.000159109
Q(3.7) = 0.000107800
Q(3.8) = 0.000072348
Q(3.9) = 0.000048096
Q(4.0) = 0.000031671

Kaynakça

↑ The Q-function, from cnx.org
1 2 Basic properties of the Q-function
↑ Normal Distribution Function - from Wolfram MathWorld

This article is issued from Vikipedi - version of the 4/28/2015. The text is available under the Creative Commons Attribution/Share Alike but additional terms may apply for the media files.