Merkezsel moment

Olasılık kuramı ve istatistik bilimsel dallarında bir reel-değerli rassal değişken için k-ıncı ortalama etrafındaki moment, E beklenen değer operatörü olursa

μ_k := E[(X - E[X])^k]

miktarı olarak tanımlanır. Olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) olan bir sürekli tekdeğişirli olasılık dağılımı için ortalama μ etrafındaki moment şöyle ifade edilir:

\mu _{k}=\left\langle (X-\langle X\rangle )^{k}\right\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}f(x)\,dx.

Fizikçiler kullandıkları notasyonda burada verilen E(X) (Xin beklenen değeri) yerine $\langle X\rangle$ terimini tercih etmektedirler.

Eğer rassal değişken için bir ortalama bulunmuyorsa (örneğin Cauchy dağılımı gösteren bir rassal değişken için) o halde merkezsel momentler de anlamsızdır.

İlk birkaç merkezsel moment için biraz sezgiye dayanan açıklamalar şöyle verilebilir:

Birinci merkezsel moment sıfırdır.
İkinci ortalama etrafındaki moment varyans ismini alır ve σ² olarak ifade edilir; burada σ standart sapmayı temsil eder.
Ortalama etrafındaki üçüncü ve dördüncü momentler standardize edilmiş momentlerin tanımlanmasında kullanılırlar ve bunlar ise ayni sırayla çarpıklık ve basıklık tanımlaması için kullanılırlar.

Özellikleri

ninci merkezsel moment çevirme operasyonu ile değiştirilemez; herhangi bir rassal değişken olan X için ve bir sabit olan c için

\mu _{n}(X+c)=\mu _{n}(X).\,

olur.

Her n için, ninci merkezsel moment n dereceli homojen dir; yani

\mu _{n}(cX)=c^{n}\mu _{n}(X).\,

Yalnız n ≤ 3 için geçerli olan bir özellik, birbirinden bağımsız olan X ve Y rassal değişkenleri için toplanabilirlilik özelliğidir:

\mu _{n}(X+Y)=\mu _{n}(X)+\mu _{n}(Y)\ \mathrm {eger} \ n\leq 3.\,

Kümülant adı verilen, bir diğer fonksiyon türü de, ninci merkezsel momentin sahip olduğu çevirme operasyonu ile değişmeme ve homojenlik özelliklerini taşır. Fakat, merkezsel momentin aksine, bu fonksiyon türü n ≥ 4 olsa bile toplanabilirlilik özelliği gösterir. Bu fonksiyon türü

κ_n(X).

olarak ifade edilen ninci kümülantdır.

n = 1, için ninci kümülant, sadece beklenen değerdir.
n = ya 2 veya 3 ise, ninci kümülant sadece ninci merkezsel moment olur.
n ≥ 4, ise ninci kümülant ise bir ilk sifir etrafindaki n momentin ninci-derecede monotonik polinomu olurlar ve daha kolaylıkla ilk n merkezsel momentlerin n dereceli polinomları olurlar.

Orijin etrafındaki momentlere ilişki

Bazen orijin etrafındaki momentleri ortalama etrafındaki momentlere değiştirmek daha uygun olabilir. Orijin etrafındaki n^inci-derecede momenti ortalama etrafındaki momente değiştirmek için kullanılan genel denklem şudur:

\mu _{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(-1)^{n-j}\mu '_{j}m^{n-j},

Burada m dağılımın ortalaması olur. Orijin etrafındaki moment şöyle verilir:

\mu '_{j}=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{j}f(x)\,dx.

$n=2,3,{\text{ ve }}4$ halleri sırasıyla varyans, çarpıklık ve basıklık özellikleri ile ilişkili oldukları için önemlilerdir ve formülleri şöyle ifade edilir:

\mu _{2}=\mu '_{2}-m^{2}

\mu _{3}=\mu '_{3}-3m\mu '_{2}+2m^{3}

\mu _{4}=\mu '_{4}-4m\mu '_{3}+6m^{2}\mu '_{2}-3m^{4}

Ayrıca bakınız

Kümülant
Momentler
Görüntü momenti

Olasılık dağılımlar kuramı

Olasılık kütle fonksiyonu · Olasılık yoğunluk fonksiyonu · Birikimli dağılım fonksiyonu · Kuantil fonksiyonu

Momentler · Merkezsel moment · Beklenen değer · Varyans · Standart sapma · Çarpıklık · Basıklık

Moment üreten fonksiyon · Karakteristik fonksiyon · Olasılık üreten fonksiyon · Kümülant

This article is issued from Vikipedi - version of the 2/28/2016. The text is available under the Creative Commons Attribution/Share Alike but additional terms may apply for the media files.