Medyan

Başlığın diğer anlamları için Medyan (anlam ayrımı) sayfasına bakınız.

Medyan (ya da ortanca) bir anakütle ya da örneklem veri serisini küçükten büyüğe doğru sıraladığımızda, seriyi ortadan ikiye ayıran değere denir. İstatistiğin bir alt dalı olan betimsel istatistikde medyan bir merkezsel konum ölçüsü kabul edilir.

Merkezsel konum olarak medyan

Bir olasılık dağılımı simetrik olmayıp, çarpıklık gösteriyorsa, medyan, aritmetik ortalamadan daha uygun bir merkezsel konum ölçüsüdür. Simetrik olmama, sıralanmış veri değerleri için ya en küçük değerlerin ya da en büyük değerlerin diğerlerinden çok daha fazla uzaklaşması ile ortaya çıkar. Bu beklenmedik küçük veya büyük değerlere aykırı değer (outlier) adı verilir. Eğer veri dağılımı asitmetrik olan aykırı değerler kapsıyorsa, medyan aritmetik ortalamaya nazaran daha güçlü ( robust) bir merkezsel konum ölçüsü halini alır.

Medyan değeri hesaplanması

Veri sayıları küçükten büyüğe doğru sıralandıktan sonra, n gözlem sayısı olmak üzere, medyan değerinin bu seri içindeki sıra numarası şu şekilde bulunur:

Medyanpozisyonu={\frac {(n+1)}{2}}

Eğer gözlem sayısı tek ise medyanın sıra numarası bir tamsayı olacaktır, ve doğrudan medyan bulunur. Eğer gözlem sayısı çift ise medyanın sıra numarası ½ li bir sayı çıkar. Bu durumda bu sayının etrafındaki iki değerin aritmetik ortalaması medyandır.

Örnek

1,3,4,5,7,8,13 dizisinin medyanı 4. sıradaki eleman olan 5'tir.

2,4,6,8 dizisinin medyan pozisyonu 2.5'tir. Bu durumda 2. ve 3. elemanların aritmetik ortalaması yani (4+6)/2=5 medyan değeridir.

Gözlem sayısı küçükse, gözlem değerlerinin sıralaması elle kolay olarak yapılabilmekte ve bu hesaplama kolaylığı merkezsel konum ölçüsü olarak medyanın tercih edilmesine bir neden olmaktadır. Ancak gözlem sayısı n artıkça, sıralama işlemleri gittikce zorlaşmaktadır; ayrıca basit el hesap makinaları ile sıralama yapmak imkânı olmamaktadır. Bilgisayar kullanılmadan ve elle yapılan işlemler kullanarak büyük gözlem sayılı verilerinin sıralanması zorluğu nedeni ile medyan büyük veri kullanılması gerektiren araştırmalarda kullanılmamışdır. Ama bilgisayarlarin gelişmesi ile medyan kullanılmasının bu dezavantaji kaybolmuştur. Bilgisayarla yapılan veri sıralanması için, özellikle çok büyük gözlem sayıda veri için özel hızlı sıralama algoritmaları kullanılmaktadır. Bu sıralama algoritmalarında genellikle (n log n) işlem yapılmaktadır ama özel böl ve fethet algoritması kullanılması ile sadece n işlem gerekmektedir.

Çokluk dağılımları için medyan değerinin hesaplanması

Veri değerleri gruplanmış ve çokluk dağılımları olarak verilmişler ise, medyan, gözlem sayısında N/2 inci değerin denk düştüğü sınıftadır ve interpolasyon ile ortaya çıkartılan formülü şu şekilde verilir:

Medyan=L+{\frac {c}{f}}({\frac {N}{2}}-d)

L: Medyan sınıfın alt değeri
c: Medyan sınıfın aralığı
f: Medyan sınıfın frekansı
N: Toplam birim sayısı
d: Medyan sınıftan bir önceki sınıfın birikimli frekansı.

Olasılık dağılımları için medyanlar

Reel doğrusu üzerinde olan ve F fonksiyonu ile ifade edilen yığmalı dağılım fonksiyonu gösteren herhangi bir olasılık dağılımı için, kesikli veya sürekli olması özelliğine bakılmadan, medyan değeri m şu eşitsizlik ifadelerine her zaman uyar:

\operatorname {P} (X\leq m)\geq {\frac {1}{2}}\quad \land \quad \operatorname {P} (X\geq m)\geq {\frac {1}{2}}\,\!

veya

\int _{-\infty }^{m}\mathrm {d} F(x)\geq {\frac {1}{2}}\quad \land \quad \int _{m}^{\infty }\mathrm {d} F(x)\geq {\frac {1}{2}}\,\!

Belirli parametreleri olan belirli dağılımların medyanları hakkında şunlar söylenebilir:

Ortalama değeri μ ve varyansı σ² olan bir normal dağılım için medyan değeri μ olur. Gerçekten normal dağılım simetrik çan şeklinde olduğundan ortalama=medyan=mod olur.
[a b] aralığında bulunan bir sürekli tekdüze dağılım için medyan değeri (a + b) / 2 olup bu ortalama değerine de eşittir.
Konum parametresi x₀ ve ölçek parametresi y de x₀ olan Cauchy dağılımı için medyan değeri konum parametresine eşittir.
Şekil parametresi k ve ölçek parametresi $\lambda$ olan bir Weibull dağılımı için medyan değeri $\lambda (\ln 2)^{1/k}$ olur.

Özellikleri

Optimal olma özelliği

Medyan, mutlak dağılmaların ortalamalarının en küçük değerini bulan bir merkezsel noktadır. Olasılık kuramının özel terimlerine göre

E(\left|X-c\right|)\,

ifadesini en küçük yapan c değeri için, X rassal değişkenin olasılık dağılımının medyanıdır. Dikkat edilmesi gerekir ki, c her zaman tek değildir ve onun için genellikle kesinlikle tanımlanamaz.

Sürekli bir olasılık dağılımı için, medyan sayı değeri ile ortalama sayı değeri arasında bir standart sapmaya eşit bir fark vardır.
Medyan 2inci dörttebirlik, 5inci ondabirlik ve 50inci yüzdebirlik e eşittir.
Genellikle medyan bir yanlı kestirimcidir.

Ayrıca bakınız

İstatistik

Betimsel istatistik

Sürekli veriler

Merkezî konum	Ortalama (Aritmetik, Geometrik, Harmonik) • Medyan • Mod

Yayılma	Açıklık • Standart sapma • Varyasyon katsayısı • Çeyrekler açıklığı • Kesirlilikler (kantil) (Dörttebirlik,Ondabirlik, Yüzdebirlik)

Dağılım şekli	Varyans • Çarpıklık • Basıklık • Momentler

İstatistiksel tablolar

Sıklık dağılımı • Çoklu sayılı özetleme tabloları • İlişki tablosu • Çoklu-yönlü sınıflandırma tabloları

İstatistiksel grafikler

Dairesel grafik • Çubuk grafiği • Kutu grafiği • Dal Yaprak Grafikleri •Kontrol diyagramı • Histogram • Sıklık çizelgesi • Q-Q grafiği • Serpilme diyagramı

Veri toplama

Örnek tasarımı	Anakütle •Basit rassal örnekleme Örüntülü örnekleme • Tabakalı örnekleme • Küme örneklemesi • Çok aşamalı örnekleme •

Deneysel tasarım	Anakütle • İstatistiksel deneysel tasarım tipleri • Deneysel hata • Yineleme • Bloklama • Duyarlılık ve belirleme

Örneklem kavramları	Örneklem büyüklüğü • Sınama gücü • Etki büyüklüğü • Örnekleme dağılımı •Standart hata

Çıkarımsal istatistik
ve
İstatistiksel kestirim ve testler

Çıkarımsal analiz tipleri

Kestirim • Parametrik çıkarımsal analiz •Parametrik olmayan çıkarımsal analiz • Bayesci çıkarımsal analiz • Meta-analiz

Çıkarımsal kestirim

Genel kestirim kavramları	Momentler yöntemi • Maksimum olabilirlilik • Bayes-tipi kestirimci • Minimum uzaklık • Maksimum aralık verme

Tekdeğişkenli kestirim	Kestirim • Güven aralığı • İnanılır aralık

Hipotez testi

İstatistiksel test ana kavramları	Sıfır hipotez • I.Tür ve II.Tür hata • Anlamlılık seviyesi •p-değeri

Basit tek-değişkenli ve iki-değişkenli parametrik hipotez testi	μ için testi • π için test • μ₁-μ₂ için test • π₁-π₂ için test • σ₁/σ₂ için test

Tek-değişkenli ve iki-değişkenli parametrik olmayan test analizi	Medyan testi • Ki-kare testi • Pearson ki-kare testi •Phi katsayısı • Wald testi • Mann-Whitney U testi • Wilcoxon'in işaretli sıralama testi

Korelasyon
ve
Regresyon analizi

Korelasyon	Pearson çarpım-moment korelasyonu • Sıralama korelasyonu ( Spearman'in rho • Kendall'in tau)

Doğrusal regresyon	Regresyon analizi • Doğrusal model • Genel doğrusal model • Genelleştirilmiş doğrusal model

Doğrusal olmayan regresyon	Parametrik olmayan • Yarıparametrik • Logistik

Varyans analizi	Tek-yönlü varyans analizi • Kovaryans analizi • Bloklu tek-yönlü varyans analizi • Etki karışımı değişkeni

Çokdeğişkenli istatistik

Çokdeğişkenli regresyon • temel bileşenler · Faktör analizi •Kanonik korelesyon • Uygunluk analizi • Kümeleme analizi

Zaman serileri analizi

Yapısal model tanımlanması	Zaman serisi yapisal model ögeleri • Zaman serisi ögeleri saptanması • Zaman grafiği • Korrelogram

Zaman serileri kestirim teknik ve modelleri	Dekompozisyon • Trend uygulama kestirimi • Üssel düzgünleştirme • ARIMA modelleri • Box–Jenkins • Spektral yoğunluk kestirimi

Kestirim değerlendirmesi	Zaman seri kestirim değerlendirmesi

Sağkalım analizi

Sağkalım fonksiyonu • Kaplan–Meier • Log-sıra testi • Başarısızlık oranı • orantılı tehlikeler modeli

Kategori • Outline • Endeks

This article is issued from Vikipedi - version of the 10/20/2016. The text is available under the Creative Commons Attribution/Share Alike but additional terms may apply for the media files.